图形, 数学的“灵魂伴侣”

数学,可不仅仅是符号、数字和方程式这些我们天生就不熟悉的东西,它还包括了各种各样的图形。图形我们可就熟悉了,即使没有学过数学,我们也可以从生活中认识到很多图形——例如像三角豆腐一样拥有三个尖角的三角形、像椅子坐垫一样方方正正的正方形,像橡皮筋一样环绕一圈的圆形。当数学问题能用图形表示的时候,是非常有利于人们理解和记忆的,本文利用图形对勾股定理及其延伸出来的几个等式的解释来说明这个问题。

勾股定理中的三个数能是连续的吗?

勾股定理可能是我们学过的最早的数学定理之一,它的表现形式是:a2+b2=c2,意为直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。有人问,勾股定理里的a、b、c能是连续的三个整数吗?这个问题不难解答,令b=a+1,c=a+2,代入原方程并化简得a2-2a-3=0。这个方程有两个解a=-1或3。-1不可取,所以这连续的三个数为3、4、5。我们知道能满足勾股定理三个数的组合有无数种,而连续的组合就仅仅只有这一种,够巧妙吧。我们以这个组合说明图形解释数学问题的巧妙之处。

因为正方形的面积等于其边长的平方,我们可以把a2、b2、c2理解为三个边长分别为a、b、c的正方形的面积。当a、b、c分别为3、4、5时,将这三个正方形在直角三角形上画出来,如图①所示。

图中的每一个正方形都被分割成一个个边长为1的正方形——边长为3的正方形被分成了9个边长为1的正方形,边长为4的正方形则被分成了16个,而边长为5的正方形被分成了25个。9+16=25,等号两边拥有的边长为1的正方形个数是相等的。让我们不禁猜想,是否可以将面积较小的两个正方形通过某种方式组合,就能得到大的正方形?事實证明是可以的,而且组合的方式非常简单。它只需将边长为4的正方形拆成四个宽为1,长为4的长方形,并且将这4个长方形围在边长为3的正方形的四周,一个边长为5的正方形就出现了,如图②所示。这也就是相当于边长为3的正方形围了一圈边长为1的正方形。

我们很轻易理解,一个边长为整数的正方形外围围一圈边长为1的正方形,得到的新的正方形的边长就等于原来的正方形边长加2。如果围两圈,那就是加4了。可以推出,围上n圈边长为1的正方形,边长增大为原来的边长加上2n。

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如果再加一个数呢?

勾股定理是a2+b2=c2,如果两边都再多一个数,变成a2+b2+c2=d2+e2,这会是什么情况?如果从a到e是连续的整数,我们同样令b=a+1、c=a+2……并且带入方程,得到a的一个有效解a=10,所以等式就是102+112+122=132+142。这时右边有两个正方形,和上文不大一样了。但是仔细观察一下,我们会发现,边长为10的正方形围两圈边长为1的正方形就可以变成边长为14的正方形,边长为11的正方形围一圈边长为1的正方形可以就变成边长为13的正方形。我们可以试着把边长为12的正方形拆开,并围到另外两个正方形上试试。我们很容易就获得成功,如图③。

如果继续加数呢?考虑a2+b2+c2+d2=e2+f2+g2,如果a~g是一串连续的整数,同样利用上述方法,解得a的有效解为21,则等式为212+222+232+242=252+262+272。右边有4个正方形,左边有3个正方形,这4个正方形该如何重新组合呢?这个也不难,请看图④。那如果再加数呢?等式左边有5个正方形,右边有4个正方形的情况为362+372+382+392+402=412+422+432+442。当然,继续举例、画图形下去已经没有必要了,因为这种例子是无穷无尽的。我们已经得出了结论:假设有一串数量为(2n-1)个的连续整数位于一个等式中,等式左边是前n个整数的平方和,右边是后(n-1)整数的平方和。这串整数有且只有一个解,且左边的n个正方形均可以通过某种组合组装出右边的(n-1)个正方形。可见,图形对于我们理解数学问题有很大的益处,而且还能帮助我们发现数学规律。

版权声明:三分钟阅读 发表于 2021年11月1日 上午8:12。
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